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By David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen

ISBN-10: 3540590692

ISBN-13: 9783540590699

ISBN-10: 364219947X

ISBN-13: 9783642199479

Anschauliche Geometrie: wohl selten ist ein Mathematikbuch seinem Titel so gerecht geworden, wie dieses außergewöhnliche Werk von Hilbert und Cohn-Vossen. Zuerst 1932 erschienen, hat das Buch nichts von seiner Frische und Kraft verloren. Hilbert hat sein erklärtes Ziel, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, bei Generationen von Mathematikern erreicht.
AUS HILBERTS VORWORT: "Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen".

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4. Fadenkonstruktion des Ellipsoids und konfokale Flächen zweiter Ordnung. Da die Flächen zweiter Ordnung im Raum eine analoge Rolle spielen wie die Kegelschnitte in der Ebene, so liegt die Frage nahe, ob man nicht die Fadenkonstruktion der Ellipse auf diese Flächen übertragen kann. Diese Frage wurde für das Ellipsoid im Jahre 1882 von STAUDE durch seine Fadenkonstruktion des Ellipsoids gelöst. Bei dieser Konstruktion (Abb. 26) geht man von einem festen Gerüst aus, das aus einer Ellipse und einer Hyperbel besteht.

Die Brennpunkte sind wieder F t und der Spiegelpunkt von F J bezüglich M. Nimmt man anstatt eines Kreises eine Gerade g, so entsteht eine Parabel. Der Brennpunkt ist F J , die Leitlinie ist die Parallele h von g, die auf der anderen Seite von F J liegt und von g denselben Abstand wie F J hat. Um zunächst die Behauptung für die Ellipse zu beweisen, ziehe ich (Abb. 33) durch F t eine beliebige Gerade, die den Kreis in C und C' treffen möge. Auf dieser Geraden bestimme ich die Punkte Fund F', so daß FJC = CF und FJC' = C'F'.

33 durch denselben Grenzübergang ableiten, durch den wir auf S. 3 die Parabel aus der Ellipse gewonnen haben. Anhänge zum ersten Kapitel. 25 ausfällt. Eine ähnliche Definition läßt sich auch für die Ellipse und Hyperbel aufstellen. Wir suchen den geometrischen Ort aller Punkte, für die der Abstand von einem festen Punkt F zum Abstand von einer festen Geraden g in einem konstanten Verhältnis v steht. Im Falle v = 1 erhalten wir die Parabel. Wir beweisen nun: Für v < 1 ist die gesuchte Kurve eine Ellipse, für v > 1 eine Hyperbel.

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by Anthony
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